b - Un modèle effectif reproduisant le comportement des détecteurs

Le modèle des corrélations de bruit est basé sur des hypothèses très simples. On suppose que le couplage est symétrique et ne dépend que de la distance entre les pistes. On appelle couplage avec le $n^{i\grave{e}me}$ voisin le couplage entre la piste d'index i et les pistes d'index i+n et i-n si elles existent. Sans expliciter la nature des couplages entre les pistes, on peut le modéliser de la façon suivante: soit $x_{i}$ le signal de la piste i, on note le signal résultant du couplage aux $n^{i\grave{e}me}$ voisines $x_{i}^{\prime} = x_{i} + C_{n}(x_{i+n}+x_{i-n})$. D'une manière générale, le couplage d'une piste à ses voisines se note alors : $x_{i}^{\prime} = x_{i} + \sum_{k=1}^{k=N}C_{k}(x_{i+k}+x_{i-k})$. Pour généraliser l'écriture et faciliter les calculs, $x_{i}^{\prime} = \sum_{k=0}^{k=N}C_{k}(x_{i+k}+x_{i-k})$ avec $C_{0} = 0.5$. Il est possible de mener à terme les calculs analytiques du coefficient de corrélation moyennant quelques simplifications:

• Les signaux de base $x_{i}$ suivent la même loi de distribution dont la moyenne est nulle. En d'autres termes, le bruit est homogène sur toutes les pistes du détecteur. Les $x_{i}$ sont également décorrélés d'une piste à l'autre: $<x_{i}x_{j}> = \delta(i,j)$, où $<A>$ représente la valeur moyenne de A et $\delta(i,j) = \left \lbrace \begin{array}{l} 0\ si\ i\not = j \\ 1\ si\ i = j \end{array} \right.$
• Il est possible de construire le signal en trois étapes:
  $x_{i}$, le signal de base comme décrit auparavant.
  $x_{i}^{'}=\sum ^{k=N}_{k=0}C_{k}\times (x_{i-k}+x_{i+k})$, signal couplé à ses voisins.
  $x^{''}_{i}=x^{'}_{i}-\frac{1}{N_{FMC}}\sum ^{a=N_{FMC}}_{a=1}x^{'}_{a}$, le signal couplé corrigé de la fluctuation de mode commun.

Dans ce cadre là,

$$<x_{i}^{''}x^{''}_{j}>=<x_{i}^{'}x^{'}_{j}>-\frac{1}{N_{FMC}}... ... ^{a=N_{FMC}}_{a=1}\sum ^{b=N_{FMC}}_{b=1}<x_{a}^{'}x^{'}_{b}>$$

Si on restreint le couplage aux premières pistes voisines uniquement,

$$<x^{'}_{i}x^{'}_{j}>=<x^{2}_{i}>\{(4C^{2}_{0}+2C^{2}_{1}). \d... ...elta (\vert i-j\vert,1)+C^{2}_{1}. \delta (\vert i-j\vert,2)\}$$

D'où

$$<x_{i}^{''}x^{''}_{j}> = <x_{i}^{'}x^{'}_{j}>-\frac{1}{N_{FMC... ...o}C_{1}+4C^{2}_{1})<x^{2}> + \cal{O}\rm (\frac{1}{N_{FMC}^{2}})$$

Puisque

$$<x_{i}^{2}> = <x_{j}^{2}> = <x^{2}>$$

$$<x^{''2}_{i}> = <x^{2}>\lbrace(4C^{2}_{0}+2C^{2}_{1})-\frac{1}{N_{FMC}}(4C^{2}_{0}+8C_{0}C_{1}+4C^{2}_{1})\rbrace$$

On obtient finalement :

$$\frac{<x_{i}^{''}x^{''}_{j}>}{<x^{''2}>}=$$

$$\frac{\{(4C^{2}_{0}+2C^{2}_{1}). \delta (\vert i-j\vert,0)+4C... ...{2}_{1})-\frac{1}{N_{FMC}}(4C^{2}_{0}+8C_{0}C_{1}+4C^{2}_{1})}$$

si $C_{1}=\alpha$ et $C_{0} = 0.5$, la corrélation entre les pistes i et j devient:

$$\frac{<x_{i}^{''}x^{''}_{j}>}{<x^{''2}>}= \frac{\{(1+2\alpha^... ...2})}{(1+2\alpha^{2})-\frac{1}{N_{FMC}}(1+4\alpha+4\alpha^{2})}$$